半透明の背景色と組み合わせると、後ろにあるものが何でも、そのままぼけて見えます。 背景画像を複製する必要はありません。

.header {
  position: sticky;
  top: 0;
  background-color: rgb(255 255 255 / 0.6);
  backdrop-filter: blur(8px);
}

ページと同じ背景画像を::beforeに固定して敷き直し、filter: blur()でぼかしていました。 後ろが固定の背景画像のときしか使えず、本文の文字などはぼけずに隠れます。 iOSのSafariではfixedが効かないため、ぼかした背景の位置がずれます。

body {
  background: url("bg.jpg") center / cover fixed;
}

.header {
  position: sticky;
  top: 0;
  z-index: 0;
  overflow: hidden;
}

.header::before {
  content: "";
  position: absolute;
  top: -16px;
  right: -16px;
  bottom: -16px;
  left: -16px;
  z-index: -1;
  background:
    linear-gradient(rgb(255 255 255 / 0.6), rgb(255 255 255 / 0.6)),
    url("bg.jpg") center / cover fixed;
  filter: blur(8px);
}